集合X = {a, b, c}的成对乘积可以定义为所有可能的集合对乘积的和。集合的成对为Y = {a * a, a * b, a *c, b * b, b * c, c * c}，其中乘积是可交换的。因此，集合X的成对乘积是集合Y的元素之和，即aa + ab + ac + bb + bc + cc。

在数学术语中，可能的配对乘积的总和可以表示为：

$$mathrm{displaystylesumlimits_{i=1,j=i}^{ileq n,jleq n}:(i,j)=itime j}$$

问题陈述

给定一个数字n。在范围（1，n）内，包括n和1，找到成对乘积的总和。

示例示例1

Input: n = 4

Output: 65

Explanation

解释

i的范围从1到4，j的范围从i到4。

1*1 + 1*2 + 1*3 + 1*4 + 2*2 + 2*3 + 2*4 + 3*3 + 3*4 + 4*4 = 1 + 2 + 3 + 4 + 4 + 6 + 8 + 9 + 12 + 16 = 65

示例示例2

Input: n = 10

Output: 1705

Explanation

解释

i的范围从1到10，j的范围从i到10。

1*1 + 1*2 + … + 1*10 + 2*2 + 2*3 + … + 2*10 + 3*3 + 3*4 + … + 3*10 + 4*4 + 4 *5 + … 4*10 + 5*5 + 5*6 + … + 5*10 + 6*6 + 6*7 + … 6*10 + 7*7 + 7*8 + … 7*10 + 8* 8 + 8*9 + 8*10 + 9*9 + 9*10 + 10*10 = 1705

方法一：暴力破解方法

解决这个问题的蛮力解法是使用两个for循环迭代范围内的所有可能的数对，其中第一个循环从1到n迭代，第二个循环从第一个数迭代到n。

伪代码

procedure pairwiseProduct (n)
   sum = 0
   for i = 1 to n
      for j = i to n
         sum = sum + (i * j)
end procedure

示例：C++实现

在以下程序中，我们找到所有可能的配对，然后找到乘积的和。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// Function to find pairwise product over the range 1 to n, 1 and n inclusive
unsigned long long pairwiseProduct(unsigned int n){
   unsigned long long sum = 0;
   
   // First number: 1 <= i <= n
   for (unsigned int i = 1; i <= n; i++){
   
      // Second number: i <= j <= n
      for (unsigned int j = i; j <= n; j++){
         sum += i * j;
      }
   }
   return sum;
}
int main(){
   unsigned long long n = 9;
   cout << "Pairwise Product = " << pairwiseProduct(n);
   return 0;
}

输出

Pairwise Product = 1155

时间复杂度 - O(n^2)

空间复杂度 - O(1)

方法二

以n = 4为例，

I = 1*1 + 1*2 + 1*3 + 1*4 + 2*2 + 2*3 + 2*4 + 3*3 + 3*4 + 4*4

在简化上述内容时，

I = 1*1 + (1+2)*2 + (1+2+3)*3 + (1+2+3+4)*4

取prefix_sum[1] = 1，

前缀总和[2] = 1+2，

前缀总和[3] = 1+2+3，

前缀总和[2] = 1+2，

伪代码

procedure pairwiseProduct (n)
   sum = 0
   prefixSum = 0
   for i = 1 to n
      prefixSum = prefixSum + 1
      sum = sum + i * prefixSum
end procedure

示例：C++实现

在下面的程序中，我们找到每次迭代的和，即前缀和，并乘以迭代次数，然后在每一步中加到最终和中。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// Function to find pairwise product over the range 1 to n, 1 and n inclusive
unsigned long long pairwiseProduct(unsigned int n){
   unsigned long long sum = 0;
   unsigned long long prefixSum = 0;
   for (unsigned int i = 1; i <= n; i++){
      prefixSum += i;
      sum += i * prefixSum;
   }
   return sum;
}
int main(){
   unsigned long long n = 9;
   cout << "Pairwise Product = " << pairwiseProduct(n);
   return 0;
}

输出

Pairwise Product = 1155

结论

总之，对于在范围1到n内的数字的两两乘积之和的求解，我们可以采用上述两种方法之一，其中第一种方法是暴力法，时间复杂度为O(n^2)，第二种方法是使用前缀和来计算两两乘积之和的优化方法，时间复杂度为O(n)。