给定整数度数L的树的数量可以通过基于图假设的方程来确定。首先，我们注意到具有N个顶点的树的整数度数连续为2N-2。利用这一点，我们可以计算树中的清除数，即L减去2。另一种方法是通过从总顶点数中减去起飞数来确定内部顶点数。最后，我们可以通过使用组合方程来确定在内部顶点之间分配剩余度数的方式数量。因此，可以使用这些步骤来计算整数度数L的树的数量。

使用的方法

• 递归枚举

• 组合分析

递归枚举

递归计数可以是一种确定具有给定度数L的树的数量的策略。从一个单独的顶点开始，我们系统地包含现代顶点和边来构建树。在每一步中，我们在保持指定总和的同时传递现有顶点之间的剩余度数。这个处理过程被递归地重复，探索所有可能的组合。通过回溯和考虑不同的度数，我们能够确定有效树的数量。这种方法对于较小的输入大小非常有用，但对于较大的L值可能会变得低效，因为它的时间复杂度是指数级的。

算法

• 定义一个递归函数countTrees(L, vertexCount)，其中L是所需的度数总和，vertexCount表示树中的顶点数。

• 基本情况。

• 如果L与2平衡，并且vertexCount等于1，则返回1（因为单个顶点可以是一个实质性的树）。将变量treeCount初始化为0。

• 从1到L-1遍历当前顶点的可能度数。

• 循环内部。

• 从当前度数中减去L，并使用升级后的L和vertexCount-1递归调用countTrees。将返回的值赋给treeCount。返回treeCount。

• 调用计数。树与所需的L和起始顶点计数（根据规则1）一起工作，以获得具有给定度数总和的树的数量。

Example

示例

#include <iostream>

int countTrees(int L, int vertexCount) {
   if (L == 2 && vertexCount == 1) {
     return 1;
   }

   int treeCount = 0;
   for (int degree = 1; degree <= L - 1; degree++) {
      int remainingSum = L - degree;
      int subTreeCount = countTrees(remainingSum, vertexCount - 1);
      treeCount += subTreeCount;
   }

   return treeCount;
}

int main() {
   int L = 8;
   int vertexCount = 4;

   int numTrees = countTrees(L, vertexCount);
   std::cout << "Number of trees with sum of degrees " << L << " and " << vertexCount << " vertices: " << numTrees << std::endl;

   return 0;
}

输出

Number of trees with sum of degrees 8 and 4 vertices: 10

组合分析

组合分析是在确定具有给定度数总和L的树的数量时，考虑树的结构并利用组合策略对其进行编号的过程。它涉及分析度数的要求，确定内部顶点的数量并将其清除，并将剩余的度数分配给它们。通过利用组合、阶段和重复关系等概念，组合分析允许推导出方程或计算方法，以精确计算具有特定度数总和L的树的数量。这种方法利用科学标准高效而熟练地解决问题。

算法

• 将变量count_trees初始化为0。

• 从1到L-2迭代可能的滤波器数量，i。

• 计算内部顶点的数量，即 L - i。

• 使用组合方法将剩余的度数分配给内部顶点。您可以使用递归方法或动态规划来计算这个分布。

• 通过在内部顶点之间传递度数的方式和选择叶子的方式，将 count_trees 增加到项的数量。

• 将count_trees作为结果返回。

Example

示例

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

int countTrees(int L) {
   int count_trees = 0;
   for (int i = 1; i <= L - 2; i++) {
      int internal_vertices = L - i;
        
      // Calculate the number of ways to distribute degrees among internal vertices
      std::vector<int> degrees(internal_vertices - 2, 1);
      degrees.push_back(2);
        
      do {
         // Calculate the number of ways to select the leaves
         int leaf_selection = std::count_if(degrees.begin(), degrees.end(), [](int x) {
            return x == 1;
         });
            
         count_trees += leaf_selection;
      } while (std::next_permutation(degrees.begin(), degrees.end()));
   }

   return count_trees;
}

int main() {
   int L = 10; // Assuming L = 10
   int result = countTrees(L);

   std::cout << "Number of trees: " << result << std::endl;

   return 0;
}

输出

Number of trees: 168

结论

本文探讨了在图表中确定具有特定度数的树的数量的两种策略。主要策略是递归识别，它通过有效地添加顶点和边来创建树，并传递剩余的度数。第二种策略是组合分析，它利用数值标准和组合方法来计算通过在顶点之间传递度数来确定树的数量。这两种方法都提供了有效解决问题的方式，并且在完全不同的场景中都是相关的。